양쪽의 평균을 동시에 올리는 마법: 윌 로저스 현상 (Will Rogers Phenomenon)

미국의 전설적인 코미디언이자 배우였던 윌 로저스(Will Rogers)는 1930년대 대공황 시절, 경제난을 피해 오클라호마주에서 캘리포니아주로 이주하는 사람들을 보며 이런 뼈 있는 농담을 던졌습니다.

"오클라호마 사람들이 고향을 떠나 캘리포니아로 이사를 가면, 두 주의 평균 지능이 모두 올라갑니다."

당시 오클라호마 사람들의 지능이 캘리포니아 사람들보다 낮다는 것을 비꼬는 지역 드립(?)이었지만, 통계학자들은 이 농담에서 엄청난 수학적 진리를 발견했습니다. 그리고 이 기막힌 현상에 '윌 로저스 현상(Will Rogers Phenomenon)'이라는 이름을 붙였습니다.

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🪄 1. 어떻게 양쪽의 평균이 동시에 오를까? (수학적 증명)

상식적으로 한 집단의 사람이 다른 집단으로 이동하면, 한쪽의 평균이 오르면 다른 쪽은 떨어져야 정상 아닐까요? 하지만 수학적으로 양쪽의 평균을 동시에 올리는 것은 아주 간단합니다.

윌 로저스 현상 인포그래픽 (수치 이동에 따른 윌 로저스 현상을 명확하게 보여주는 데이터 시각화)

여기 두 개의 집단이 있습니다.

• 우등생 집단 (High Group): 4점, 5점, 6점 (평균: 5.0점)
• 열등생 집단 (Low Group): 1점, 2점, 3점 (평균: 2.0점)

자, 이제 우등생 집단에서 가장 점수가 낮은 '4점' 학생을 열등생 집단으로 전학을 보내보겠습니다. 어떤 일이 벌어질까요?

• 우등생 집단 (After): 5점, 6점 (평균: 5.5점 ⬆️)
• 열등생 집단 (After): 1점, 2점, 3점, 4점 (평균: 2.5점 ⬆️)

놀랍게도 전체 학생들의 실제 점수는 단 1점도 변하지 않았는데, 단지 소속(그룹)을 바꾸었을 뿐인데 두 집단의 평균 점수가 모두 0.5점씩 상승했습니다!

우등생 집단 입장에서는 가장 점수를 깎아 먹던 꼴찌(4점)가 사라졌으니 평균이 오르고, 열등생 집단 입장에서는 자기들보다 점수가 높은 전교 1등(4점)이 전학을 왔으니 당연히 평균이 오르는 것입니다.

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🏥 2. 현실 세계의 비극: 암 생존율의 착시 (Stage Migration)

이 현상은 그저 재미있는 수학 퍼즐로 끝나지 않습니다. 현실 세계의 데이터 분석, 특히 의학 통계(Medical Statistics)에서 엄청난 혼란과 착시를 불러일으킵니다. 의학계에서는 이를 '병기 이동(Stage Migration)'이라고 부릅니다.

과거에는 MRI나 PET-CT 같은 정밀 진단 기기가 없었습니다. 그래서 의사들은 암이 눈에 띄게 커져야만 발견할 수 있었습니다.

• 초기 암 환자 그룹 (생존율 높음): 눈에 보이는 전이가 없는 환자들.
• 말기 암 환자 그룹 (생존율 낮음): 눈에 띄게 암세포가 온몸에 전이된 환자들.

그런데 의료 기술이 엄청나게 발달하면서, 과거에는 절대 발견할 수 없었던 '아주 미세한 숨겨진 전이'까지 찾아낼 수 있게 되었습니다. 그 결과, 과거 기준이었다면 '초기 암'으로 분류되었을 환자 중 상태가 가장 안 좋은 사람들(미세 전이가 있는 사람들)이 대거 '말기 암' 그룹으로 재분류(전학) 되었습니다.

자, 윌 로저스 현상을 대입해 볼까요?

1. 초기 암 생존율 상승: 초기 암 그룹에서 가장 상태가 안 좋았던(사망 확률이 높았던) 환자들이 말기 암 그룹으로 빠져나갔습니다. 당연히 초기 암 그룹의 평균 생존율은 치솟습니다.
2. 말기 암 생존율 상승: 말기 암 그룹에 새로 들어온 환자들은, 원래 말기 암이었던 환자들에 비하면 아주 건강한(미세 전이만 있는) 환자들입니다. 당연히 이들이 합류하면서 말기 암 그룹의 평균 생존율도 치솟습니다.

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💡 3. 데이터에 속지 않는 법

병원의 통계 지표만 보면 "초기 암 생존율도 크게 올랐고, 말기 암 생존율도 크게 올랐습니다! 우리 병원의 새로운 항암 치료법이 기적을 만들고 있습니다!"라고 대서특필할 수 있습니다.

하지만 잔인한 진실은, 새로운 치료법 덕분에 환자의 수명이 늘어난 것이 아니라 그저 환자를 분류하는 '기준(진단 기술)'이 바뀌었을 뿐이라는 것입니다. 환자 개개인의 실제 생존 기간은 과거와 1년도 달라지지 않았습니다.

비즈니스와 마케팅에서도 이런 눈속임은 흔하게 일어납니다.

• "A 매장과 B 매장의 평균 매출이 모두 작년보다 올랐습니다!" (알고 보니 A 매장의 가장 실적이 안 좋은 부서를 B 매장으로 통폐합했을 뿐)
• "VIP 고객과 일반 고객의 평균 객단가가 모두 상승했습니다!" (VIP 고객의 기준 금액을 슬쩍 높였을 뿐)

우리는 흔히 '평균(Average)'이라는 숫자가 가장 객관적이고 거짓말을 하지 않을 것이라 믿습니다. 하지만 윌 로저스 현상은 집단을 나누는 '기준선' 하나만 슬쩍 옮겨도, 얼마든지 데이터를 마사지하고 원하는 결론을 조작해 낼 수 있음을 경고합니다.

데이터가 놀랍도록 좋아졌다면, 기뻐하기 전에 먼저 질문해야 합니다. "혹시 데이터의 '분류 기준'이 바뀐 것은 아닐까?"

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[참고 문헌]

• Feinstein, A. R., Sosin, D. M., & Wells, C. K. (1985). "The Will Rogers phenomenon. Stage migration and new diagnostic techniques as a source of misleading statistics for survival in cancer". The New England Journal of Medicine.